PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN

NAMA : LIDYA SYAH PUTRI
NIM : 201831203

     Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan { <, >, ≤, dan ≥ }. Pertidaksamaan dinotasikan dengan tanda :

1.      < (lebih kecil)

2.      > (lebih besar)

3.      ≤ lebih kecil atau sama dengan

4.      ≥ lebih besar atau sama dengan

     Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga himpunan penyelesaian (Hp). Cara menentukan Hp :

1.    Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : < 0, dengan cara ruas kiri atau ruas kanan dikalikan dengan nol. Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya.

2.    Dicari titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi factor-faktor linier atau kuadrat.

3.   Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda ( +, – ) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul.

Himpunan Bilangan Real

      Himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan rasional dan irasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut :

 

sifat-sifat bilangan real :

a.     Sifat Medan

Jika x, y, z adalah anggota bilangan real, maka :

1.  x + y = y + x dan xy = yx (Hukum Komutatif)

2.  x + ( y+z ) = ( x+y ) + z dan x ( yz ) = ( xy ) z (Hukum Asosiatif)

3.  x( y+z ) = xy + xz (Hukum Distributif)

4.  Terdapat bilangan real yang berlainan 0 dan 1 sehingga x + 0 = x dan x . 1 = x (Unsur Identitias)

5.  Setiap bilangan x mempunyai invers penjumlahan –x sehingga x + (-x) = 0 dan mempunyai invers perkalian  x-1 sehingga x ( x-1) = 1 (Unsur Invers)

b.     Sifat Urutan

i.   Trikotomi. Jika x dan y bilangan, maka pasti berlaku salah satu x < y atau x = y atau x > y

ii.   Transitif. x < y dan y < z maka x < z

iii.   Penambahan. x < y  x + z < y + z

iv.   Perkalian. Jika z bilangan positif, x < y maka x.z < y.z, jika z bilangan negatif, x < y maka x.z > y.z

 Garis Bilangan Real

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real).

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang (interval). Berikut beberapa interval, cara penulisannya dalam bentuk himpunan, dan grafiknya dalam garis bilangan.

     Bilangan Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah kosong( ). Sedangkan tanda “≤” dan “≥” menyatakan selang tertutup dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah berisi (•).Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {x | a < x < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}.Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat

     Sama seperti pada persamaan kuadrat pada umumnya. Pangkat tertinggi pada pertidaksamaan kuadrat adalah 2 (dua). Perbedaan antara persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat hanya terletak pada tanda penghubungnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh perbedaan antara persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat yang diberikan melalui tabel di bawah.

Langkah-langkah menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat :

1.      Menentukan akar dari pertidaksamaan yang memenuhi nilai 0

2.      Membuat garis bilangan

3.      Menentukan titik uji

4.      Menentukan tanda untuk masing-masing daerah penyelesaian

5.      Menentukan himpunan penyelesaian

Menentukan Akar Pertidaksamaan Kuadrat

    Langkah pertama untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Pada bagian awal telah disinggung bahwa cara menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat sama dengan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Perbedaannya hanya dengan mengambil harga nol dari soal pertidaksamaan kuadrat yang diberikan. Cara mengambil nilai nol dari pertidaksamaan kuadrat hanya dengan cara mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Sehingga diperoleh bentuk sementara berupa persamaan kuadrat. Sebagai contoh, perhatikan cara mengambil harga nol dari pertidaksamaan berikut ini.

     Dengan mengambil nilai nol, kalian akan mendapatkan persamaan kuadrat. Selanjutnya, cari akar-akar yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat menggunakan metode pemfaktoran, rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna. Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang memenuhi. Buatlah garis bilangan dan menentukan nilai pada masing-masing daerah. Nilai yang dimaksud di sini dapat berupa nilai positif (+) atau negative. Simak ulasan lebih lengkap mengenai garis bilangan dan cara menentukan tanda pada masing-masing daerah pada pembahasan di bawah.

 Garis Bilangan dan Cara Menentukan Tanda pada Masing-Masing Daerah

        Misalkan nilai akar-akar yang diperoleh dari perhitungan sebelumnya adalah a dan b. Maka garis bilangan yang dapat dibentuk dapat dilihat seperti gambar di bawah.

      Setelah dapat membentuk daerah garis bilangan seperti pada gambar di atas, berikutnya adalah menentukan nilai pada masing-masing daerah. Caranya adalah dengan mengambil satu titik uji pada suatu daerah. untuk mempermudah perhitungan ambil titik uji x = 0. Hasil dari titik uji menunjukkan nilai yang mewakili keseluruhan daerah tersebut. Untuk daerah yang lain, biasanya akan bergantian. Maksudnya, jika hasil titik uji menghasilkan daerah positif maka daerah sebelahnya adalah kebalikannya. Begitu juga dengan kondisi sebaliknya.

         Namun terdapat pengecualian ketika ada akar kembar hasil dari penentuan akar-akar persamaan kuadrat. Tandanya mengikuti daerah sebelahnya. Perhatikan ilustrasi pada gambar di bawah.

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

       Hasil dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat biasanya disajikan dalam bentuk himpunan. Pada bagian ini, sobat idschool akan mempelajari cara menentukan notasi himpunan dari garis bilangan. Berikut ini adalah tabel cara membaca himpunan penyelesaian dari garis bilangan yang diberikan secara umum.

Contoh Soal :

 1.   13 ≥ 2x – 3 ≥ 5